Информатика / Computer science

Система счисления - это система знаков, служащих для изображения чисел и подчиняющихся определенным правилам действия над ними. Система счисления - это способ записи чисел с помощью набора цифр. Системы счисления бывают позиционные и непозиционные.

Непозиционные системы счисления - это системы счисления, в которых величина. обозначаемая цифрой в записи числа, НЕ зависит от ее позиции. Например, римская система счисления: VI, IV; цифра V - и на первом и на втором месте обозначает 5. Величина числа в непозиционной системе счисления определяется как сумма или разность цифр в числе. Основной недостаток непозиционных систем счисления - это неоднозначность записи числа, например: число 8 можно записать как VIII или IIX.

Алфавит римской системы счисления: I - 1, V - 5, X - 10, L - 50, C - 100, D - 500, M - 1000.

Позиционные системы счисления - это системы счисления, в которых величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Например, десятичная система счисления: 54 и 15 - цифра 5 на первом месте обозначает 50 (5 десятков), а на втором - 5 (5 единиц).

Алфавит системы счисления - это набор символов, используемых для изображения цифр (начиная с нуля). Основание позиционной системы счисления - количество цифр в ее алфавите.

Примечание. В системах счисления с основанием, большим 10, после цифры 9 начинают следовать буквы латинского алфавита, а затем и другие символы. В таблице ниже представлена таблица соответствия чисел между основными позиционными системами счисления.

Таблица 1. Таблица соответствия между позиционными системами счисления.

Перевод между системами счисления

Любое десятичное число можно записать в виде суммы произведений цифр числа на соответствующую степень 10 (основания десятичной системы счисления). 

Алгоритм перевода целых чисел из систем счисления с произвольным основанием в десятичную систему счисления:

1) расставить индексы: над разрядом единиц поставить 0 и пронумеровать остальные разряды справа налево;

2) записать сумму произведений каждой цифры числа на основание, степенью которого служит соответствующий индекс;

3) заменить буквы соответствующими числами (если в записи числа присутствуют буквы);

4) выполнить арифметические действия и записать ответ.

Например:

100101_{2 =} 1*2⁵ + 0*2⁴ + 0*2³ + 1*2² + 0*2¹ + 1*2⁰ = 32 + 4 + 1 = 37_10. То есть число 100101 записанное в двоичной системе счисления равно 37 в десятичной системе счисления.

Алгоритм перевода целых чисел из десятичной системы счисления в систему счисления с произвольным основанием:

1) заданное число делим нацело (в столбик) на основание той системы счисления, в которую переводим;

2) полученное частное снова делим нацело на основание;

3) продолжаем до тех пор, пока частное не станет меньше основания системы счисления, в которую переводим;

4) если остаток превосходит цифру 9, то заменить его на соответствующую букву;

5) выписать последнее частное и за ним все остатки, начиная с последнего. Полученное число и будет искомым.

Если сложить степени двойки находящиеся под значащими единицами в записи двоичного числа, то мы получим число в десятичной системе счисления. Представленное двоичное число равно числу 37 в десятичной системе счисления.

Аналогично можно произвести перевод между шестнадцатеричной и десятичной системами счисления. Если сложить степени шестнадцати находящиеся под записью шестнадцатеричного числа, то мы получим число в десятичной системе счисления. Представленное 16-ричное число равно числу 4369 в десятичной системе счисления.

Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную систему счисления

1) разбить двоичное число на группы по четыре цифры, начиная с крайнего правого разряда (добавив слева нужное количество незначащих нулей);

2) перевести каждую группу из 4 цифр в шестнадцатеричную систему счисления (см. Таблицу 1). Полученная последовательность цифр и будет искомым числом.

Примечание. Обратный перевод осуществляется в соответствии с тем же алгоритмом.

Например:

FF3₁₆ = F₁₆ F₁₆ 3₁₆ = 1111₂ 1111₂ 0011 ₂ = 111111110011 ₂

0101010101₂ = 0001 0101 0101₂ = 1₁₆ 5₁₆ 5₁₆ = 155₁₆

Алгоритм перевода из двоичной системы счисления в восьмеричную систему счисления

1) разбить двоичное число на группы по три цифры, начиная с крайнего правого разряда (добавив слева нужное количество незначащих нулей);

2) перевести каждую группу из 3 цифр в восьмеричную систему счисления (см. Таблицу 1). Полученная последовательность цифр и будет искомым числом.

Примечание. Обратный перевод осуществляется в соответствии с тем же алгоритмом.

Например:

175₈ = 1₈ 7₈ 5₈ = 001₂ 111₂ 101₂ = 001111101₂

0101010101₂ = 000₂ 101₂ 010₂ 101₂ = 0₈ 5₈ 2₈ 5₈ = 525₈