Тема 4. Алгебра логики. Таблицы истинности.
Алгебра логики (высказываний) - это раздел математической логики, изучающий высказывания и логические операции над ними.
Высказывание - повествовательное предложение, о котором можно однозначно сказать, истинно оно или ложно. Высказывания могут быть из области математики (4+3=7), географии (Астана - столица Казахстана), вообще из любых сфер жизни. Высказывания обозначаются заглавными латинскими буквами. (A,B,...). С точки зрения алгебры логики, важным аспектом высказывания является не его содержание, а только значение, которое оно принимает: ИСТИНА или ЛОЖЬ. Обозначаются они соответственно цифрами 1 или 0. Тогда для высказываний A и B записи A = 0, B = 1 надо читать как A - ложно, B - истинно. Например,
A = Марс - вторая планета от Солнца (A = 0)
B = 2 > -10 (B = 1)
Высказывания в логике являются аналогом высказываний в арифметике. Логические выражения бывают: простые - состоят из одного высказывания; сложные - состоят из двух и более высказываний, объединенных логическими операциями (дизъюнкция, конъюнкция, инверсия). Порядок выполнения логических операций в сложных логических высказываниях представлен ниже:
1) Действия в скобках
2) Инверсия
3) Конъюнкция
4) Дизъюнкция
Таблицы истинности для основных логических операций.
Количество строк в таблице истинности (N) вычисляется по формуле Хартли N = 2i, где i - это количество простых высказываний. Например, для таблицы истинности с 2 простыми высказываниями A и B количество строк в таблице истинности будет равно 4 (кроме заголовка).
1. Инверсия (логическое отрицание) - делает ложное высказывание истинным и, наоборот, истинное - ложным.
Разновидность условных обозначений: ¬A, НЕ А, NOT A, , !A
, Схематичное обозначение:
| ГОСТ 2.743-91 |
US ANSI 91-1984 |
|---|---|
 |
 |
Таблица истинности
| A |
¬A |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
2. Конъюнкция (логическое умножение) двух высказываний истинна тогда, и только тогда, когда истинны оба высказывания.
Разновидность условных обозначений: A И B, A AND B, A & B, AB, A ∧ B
Схематичное обозначение:
| ГОСТ 2.743-91 |
US ANSI 91-1984 |
|---|---|
 |
 |
Таблица истинности
| A | B | A ∧ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
2. Дизъюнкция (логическое сложение) двух высказываний ложна тогда, и только тогда, когда ложны оба высказывания.
Разновидность условных обозначений: A ИЛИ B, A OR B, A || B, A ∨ B
Схематичное обозначение:
| ГОСТ 2.743-91 |
US ANSI 91-1984 |
|---|---|
 |
 |
Таблица истинности
| A | B | A ∨ B |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
В свою очередь логические операции служат основой для создания логических и арифметических устройств, в том числе АЛУ (арифметика-логического устройства), как одного из основных компонентов процессора, и компьютера в целом. В логических
устройствах сигнал на выходе может принимать только два значения — логического нуля и логической единицы. Эти значения являются символическими (условными). Им ставятся в соответствие определенные уровни электрических сигналов.
Логические схемы строятся из логических элементов и элементов памяти. Реализация логических элементов процессора основана на транзисторах. Ниже представлены схемы на транзисторах, демонстрирующие простейшие логические операции.
Для решения логических задач полезно знать законы алгебры логики.
